从洛伦兹变换得到时间膨胀方程狭义相对论最深刻的理解

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1905年9月26日,爱因斯坦的反动性论文《关于运动物体的电动力学 》(On the Electrodynamics of Moving Bodies)发表在科学杂志《物理学年鉴》上。在这论文中,爱因斯坦描绘了他的狭义相对论,该理论为空间和时间的概念提供了全新的定义。狭义相对论使电磁理论(更详细地说,麦克斯韦方程组)与力学相分歧。

相对论原理:相同的物理定律适用于一切的惯性参照系(不阅历加速度的参照系)。光速的普遍性:真空中的光速,通常用c表示,关于一切的惯性观测者来说都是相同的,它不依赖于光源的运动。第一个假定,即相对论原理,在1632年由意大利天文学家、物理学家和工程师伽利略在他的《关于两个主要系统的讨论》( Dialogue Concerning the Two Chief World Systems)一书中初次提出。第二个假定,即光速的普遍性,是爱因斯坦对相对论的严重奉献。

假定有两个事情发作在两个不同的地点。同时性的相对性意味着,假如这些事情在一个给定的参考系中同时发作,它们可能不会在不同的参考系中同时发作。

假定有一节火车,沿直线匀速行驶。在汽车的中心,发出一道光,光线以速度c各向同性扩散。由于光源与汽车两端的间隔相等,车内的察看者会同时探测到抵达汽车前后端的光。但是,关于汽车外的察看者来说,这两个事情(光抵达汽车的前端和后端)不是同时发作的。

图3:同时性相对性的阐明这是由于,当光扩散时,火车车厢向前挪动,因而,从旁观者的角度来看,光向火车尾端挪动的间隔更短了。由于关于两个观测者来说,光速都等于c(依据第二个相对论假定),外部观测者会发觉第一个事情发作在第二个事情之前(留意,观测者必需校正信号抵达他们的时间)。

如今让我们来了解为什么一个运动系统中的时钟变慢是相对论的两个假定的直接结果。

假定有两个镜子A和B在一节以v的速度运动的车厢里,假定一个来自镜子A的光击中了镜子B,然后又回到了镜子A。假如两个镜子之间的间隔是L,依据车里的察看者,光沿着这条途径走的时间是:

图4:时间收缩表示图在车外察看者的参照系中,反弹的光“走”出一个更长的途径(上图中三角形的两条斜边)。由于,依据相对论第二假定,关于一切的惯性察看者来说,光速是恒定的,所以从外部察看者的角度来看,光在两面镜子之间反射的时间更长。这意味着,在外部察看者的参照系中,内部的时钟似乎运转得更慢。那么,光在两个镜子之间反射的时间为:

式2:光从镜子A到镜子B,再回来的时间,由列车外的察看者丈量。为了计算间隔D,我们应用勾股定理:

式4:由于上面的分母小于1,列车外察看者丈量到的时间距离(Δt’)比列车内察看者丈量到的时间距离(Δt)长。由于分母小于1,这个方程标明,列车外的察看者(相关于镜子运动)丈量的时间距离(Δt’)比列车内的察看者(相关于镜子静止)丈量的时间距离(Δt)要长。

一个关于运动使时间变慢的有趣例子是宇宙射线中的介子抵达地球。介子产生于大气顶部约10公里处。介子的自发衰变寿命均匀为2.2 μs(这是介子在本人的参照系中的寿命)。由于时间收缩,介子以十分接近光速的速度在我们的参照系(地球)中“生存”了更长的时间,而这更长的时间足以让它们抵达地球。

图5:介子(在宇宙射线中)挪动的速度十分接近光速,在我们的参考系中存活的时间要长得多。这段时间足以让它们抵达地球。洛伦兹变换

假定事情E在某些惯性系统S(假定为静止的参考系)中的坐标为(t, x, y, z)。思索另一个惯性系统S (假定为匀速运动的参考系),其中同样的事情有坐标(t , x , y , z )。两个坐标之间的关系称为洛伦兹变换,它由以下公式给出:

图6:两个惯性参照系以速度v相对运动。如今让我们看看上面的结果是如何从洛伦兹变换得到的。

狭义相对论中的时空几何用时空图或闵可夫斯基图来表示。时空图是一个空间和一个时间的二维图。如下所示,这些图能够定性天文解我们之前讨论过的两个现象,即时间收缩和同时性的相对性。

一个事情是一个由点(t, x)表示的瞬时发作。世界限是代表一个物体在时间中挪动的历史位置的线。一个时空图能够用来表示一个洛伦兹变换,它触及两个惯性参照系。假如一个察看者在(t, x) =(0,0)时开端沿x轴挪动,观测者的新时间轴t 和新空间轴x 相关于原轴的倾角小于π/4(见下图)。在挪动察看者的参照系中,同时发作的事情在平行于倾斜的x’轴的直线上发作。

图8:一个时空图阐明了同时性的相对性。在运动的参照系中,B发作在A之后。A和B在静止参考系中是同时存在的(它们呈现在t=t =0时)。在运动的参考系中,事情的坐标是:

式7:两个事情A和B在运动参考系中的坐标。因而,它们在运动参考系中不是同时存在的。依据那个坐标系中的时钟,B发作在A之后。因而,我们能够看到,同时性的相对性能够从洛伦兹变换中轻松得到。

下图显现了三个事情A、B和C。挪动的白线是一个同时性平面。我们看到事情A, B, C的次第取决于同时性平面的速度。

思索一个在t=0时静止参考系中的察看者,他检查了运动参考系中的一切时钟。每个时钟将依据其位置x读取不同的时间:

式8:在初始参考系中一切时钟的读数作为它们位置的函数。如今让我们思索一个位于某个位置p的时钟。由于我们选择了一个固定的时钟,它在运动参照系中的位置x 是恒定的。为了得到时间收缩方程,我们首先将静止的时间坐标写成运动的时间坐标。这能够简单地经过改动式5中v的符号来完成。我们得到:

式10:从洛伦兹变换得到的时间收缩。因而,正如在同时性相对论的状况下,我们能够直接地从洛伦兹变换得到时间收缩的方程。

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